全等三角形类型题汇总

全等三角形的认识与*质

全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等图形．

全等多边形：

能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．

全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形abcde≌五边形a'b'c'd'e'．

这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

a

ea'

e'

b

cdb'

c'd'

全等三角形：

能够完全重合的三角形就是全等三角形．

全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．

全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．

全等三角形的*质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

(3)有公共边的，公共边常是对应边．

(4)有公共角的，公共角常是对应角．

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法：

(1)边角边定理(sas)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2)角边角定理(asa)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3)边边边定理(sss)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4)角角边定理(aas)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5)斜边、直角边定理(hl)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

判定三角形全等的基本思路：

找夹角sas已知两边找直角hl

找另一边sss

边为角的对边→找任意一角→aas找这条边上的另一角→asa已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的对角→aas

找该角的另一边→sas

找两角的夹边asa已知两角找任意一边aas

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：

⑴平移全等型

⑵对称全等型

⑶旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶等腰三角形的*质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．

⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．

⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

与角平分线相关的问题

角平分线的两个*质：

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：

1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，

3．oaob，这种对称的图形应用得也较为普遍，

a

op

baopboapb

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

重点：本节的重点是全等三角形的概念和*质以及判定，全等三角形的*质是以后*三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，hl的判定是整个直角三角形的重点

难点：本节的难点是全等三角形*质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用*质定理及其推论，要把*质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

板块一、全等三角形的认识与*质

ead，连接bd、ce相交于o再连结ao、bc，若12，在ab、ac上各取一点e、d，使a

则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．

b

e

ao

cd

【巩固】如图所示，abad，bcdc，e、f在ac上，ac与bd相交于p．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．

b

apfc

d

板块二、三角形全等的判定与应用

(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，ac∥de，bc∥ef，acde．求*：afbd．

e

af

bd

c

(2008年宜宾市)已知：如图，adbc，acbd，求*：cd．

d

c

ab

【巩固】如图，ac、bd相交于o点，且acbd，abcd，求*：oaod．

d

c

ao

b

c四点在同一条直线上，abdc，becf，b、e、f、(哈尔滨市2008年初中升学考试)已知：如图，

bc．求*：oaod．

d

a

befc

已知，如图，abac，ceab，bfac，求*：bfce．

a

e

bfc

e、f分别是正方形abcd的bc、cd边上的点，且becf．求*：aebf．

ad

f

bec

【巩固】e、f、g分别是正方形abcd的bc、cd、ab边上的点，geef，geef．求*：bgcfbc．

a

g

f

bcde

在凸五边形中，be，cd，bcde，m为cd中点．求*：amcd．

a

be

cmd

板块三、截长补短类

如图，点m为正三角形abd的边ab所在直线上的任意一点(点b除外)，作dmn60，*线mn与∠dba外角的平分线交于点n，dm与mn有怎样的数量关系?

d

n

ambe

【巩固】如图，点m为正方形abcd的边ab上任意一点，mndm且与∠abc外角的平分线交于点n，md与mn有怎样的数量关系？

e、f分别是正方形abcd的bc、cd边上的点，且becf．求*：aebf．

ad

f

bec

【巩固】e、f、g分别是正方形abcd的bc、cd、ab边上的点，geef，geef．求*：bgcfbc．

a

g

f

bcde

在凸五边形中，be，cd，bcde，m为cd中点．求*：amcd．

a

be

cmd

板块三、截长补短类

如图，点m为正三角形abd的边ab所在直线上的任意一点(点b除外)，作dmn60，*线mn与∠dba外角的平分线交于点n，dm与mn有怎样的数量关系?

d

n

ambe

【巩固】如图，点m为正方形abcd的边ab上任意一点，mndm且与∠abc外角的平分线交于点n，md与mn有怎样的数量关系？

dc

n

ambe

如图，ad⊥ab，cb⊥ab，dm=cm=a，ad=h，cb=k，∠amd=75°，∠bmc=45°，则ab的长为()

kh

a.ab.kc.2d.h

d

c

amb

已知：如图，abcd是正方形，∠fad=∠fae.求*：be+df=ae.

ad

f

bce

如图所示，abc是边长为1的正三角形，bdc是顶角为120的等腰三角形，以d为顶点作一个

60的mdn，点m、n分别在ab、ac上，求amn的周长．

a

n

m

b

dc

五边形abcde中，ab=ae，bc+de=cd，∠abc+∠aed=180°，求*：ad平分∠cde

a

be

cd

板块四、与角平分线有关的全等问题

如图，已知abc的周长是21，ob，oc分别平分abc和acb，odbc于d，且od3，求abc的面积．

dc

在abc中，d为bc边上的点，已知badcad，bdcd，求*：abac．

b

cd分别是abc及acb平分线．已知abc中，abac，be、求

adc

de

*：cdbe．bc

已知abc中，a60，bd、ce分别平分abc和acb，bd、ce交于点o，试判断be、cd、bc的数量关系，并加以*．

a

bdc

12，34．求*：edeb．如图，已知e是ac上的一点，又

3

e

1

a2b4

(“希望杯”竞赛试题)长方形abcd中，ab=4，bc=7，∠bad的角平分线交bc于点e，ef⊥ed交ab于f，则ef=__________．

a

fd

bec

如图所示，已知abc中，ad平分bac，e、f分别在bd、ad上．decd，efac．求*：ef∥ab

a

f

bedc

【巩固】如图，在abc中，ad交bc于点d，点e是bc中点，ef∥ad交ca的延长线于点f，交ab于点g，若bgcf，求*：ad为bac的角平分线．

f

g

baedc

【巩固】在abc中，abac，ad是bac的平分线．p是ad上任意一点．求*：abacpbpc．

a

p

bdc

如图，在abc中，b2c，bac的平分线ad交bc与d．求*：abbdac．

a

bdc

如图所示，在abc中，acab，m为bc的中点，ad是bac的平分线，若cfad且交ad的延长线于f，求*

amf1acab2．

bfmc

【巩固】如图所示，ad是abc中bac的外角平分线，cdad于d，e是bc的中点，求*

1de(abac)2de∥ab且．

a

d

bec

【巩固】如图所示，在abc中，ad平分bac，adab，cmad于m，求*abac2am．

a

bd

c

如图，abc中，abac，bd、ce分别为两底角的外角平分线，adbd于d，aece于e．求*：adae．

a

de

gbch

【巩固】已知：ad和be分别是△abc的∠cab和∠cba的外角平分线，cdad，cebe，求*：⑴de∥ab；⑵

cde1abbcca2．

de

ab

在abc中，mb、nc分别是三角形的外角abe、acf的角平分线，ambm，an垂足分别是m、n．求*：mn∥bc，

a

m

ebfmn1abacbc2

acb的角平分线，ambm，annc分别是三角形的内角abc、mb、【巩固】在abc中，

垂足分别是m、n．求*：mn∥bc，

amn1abacbc2

nm

bc

【巩固】(*市中考模拟题)如图，在四边形abcd中，ac平分bad，过c作ceab于e，ae

并且1(abad)2，则abcadc等于多少？

d

c

aeb

如图，ad180，be平分abc，ce平分bcd，点e在ad上．

探讨线段ab、cd和bc之间的等量关系．

探讨线段be与ce之间的位置关系．

d

ae

bc

版块一、倍长中线

1am(abac)2已知：abc中，am是中线．求*：．

a

bmc

【巩固】(2002年通化市中考题)在abc中，ab5,ac9，则bc边上的中线ad的长的取值范围是什么？

如图，abc中，ab

a

bdc

如图，已知在abc中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，延长be交ac于f，afef，

fb求*：acbe．dc

已知△abc，∠b=∠c，d，e分别是ab及ac延长线上的一点，且bd=ce，连接de交底bc于g，求*gd=ge．

a

d

c

bg

e

已知am为abc的中线，amb，amc的平分线分别交ab于e、交ac于f．求*：becfef．

a

f

bmc

在rtabc中，a90，点d为bc的中点，点e、f分别为ab、ac上的点，且edfd．以线段be、ef、fc为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三a

e

bfcd

角形？

2222【巩固】如图所示，在abc中，d是bc的中点，dm垂直于dn，如果bmdmdn，求*ad21ab2ac24．

a

m

n

bdc

(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在rtabc中，f是斜边ab的中点，d、e分别在边ca、cb上，满足dfe90．若ad3，be4，则线段de的长度为

a

df

ceb

_________．

版块二、中位线的应用

ad是abc的中线，f是ad的中点，bf的延长线交ac于e．求*：

a

e

f

1aeacb3．dc

如图所示，在abc中，abac，延长ab到d，使bdab，e为ab的中点，连接ce、cd，求*cd2ec．

a

e

bc

【巩固】已知△abc中，ab=ac，bd为ab的延长线，且bd=ab，ce为△abc的ab边上的中线．求*cd=2ce

c

aebd

已知：abcd是凸四边形，且ac∠gnm．

ae

d

m

g

bfc

1acbcacb90，2e是cd的中点，在abc中，，以bc为底作等腰直角bcd，求*：aeeb

e

cd

且aebe．ab

如图，在五边形abcde中，abcaed90，bacead，f为cd的中点．求*：bfef．

a

b

e

cfd

(“祖冲之杯”数学竞赛试题，*国家集训队试题)如图所示，p是abc内的一点，pacpbc，过p作pmac于m，plbc于l，d为ab的中点，求*dmdl．

c

m

pl

adb

(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在abc中，d为ab的中点，分别延长ca、cb到点e、f，使dedf．过e、f分别作直线ca、cb的垂线，相交于点p，设线段pa、pb的中点分别为m、n．求*：

(1)dem≌fdn；(2)paepbf．

c

adb

mfepn

【习题1】如图，已知acbd，adac，bcbd，求*：adbc．

ab

c

【习题2】点m，n在等边三角形abc的ab边上运动，bd=dc，∠bdc=120°，∠mdn=60°，求*mn=mb+nc．

a

n

bc

【习题3】在△abc中，ab3ac，bac的平分线交bc于d，过b作bead，e为垂足，求

a

c

d

*：adde．be

【习题4】如图，在abc中，abbdac，bac的平分线ad交bc与d．求*：b2c．

a

bdc

【习题5】如图，在等腰abc中，abac，d是bc的中点，过a作aede，afdf，且aeaf．

a

e

bdcf

求*：edbfdc．

【习题6】如图，已知在abc中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，且beac，延长be交ac于f，af与ef相等吗？为什么？

fbdc

【习题7】如右下图，在abc中，若b2c，adbc，e为bc边的中点．求*：ab2de．

第2篇：全等三角形全章训练题

1.如图所示，△abc≌△ade，bc的延长线过点e，acb=aed=105，cad=10，

b=50，求def的度数。

2.如图，△aob中，b=30，将△aob绕点o顺时针旋转52得到△aob边ab与边ob交于点c(a不在ob上)，则aco的度数为。

3.如图所示，在△abc中，a=90，d,e分别是ac,bc上的点，若△adb≌△edb≌△edc,则c的度数是。

4.如图所示，把△abc绕点c顺时针旋转35，得到△abc,ab交ac于点d，

若adc=90，则a=。

5.如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc,ac=db，已知abc=60，求adc的度数。

6.已知，如图所示，ab=ac,adbc于d,且ab+ac+bc=50cm,而ab+bd+ad=40cm,

则ad=.

7.如图，rt△abc中，bac=90，ab=ac,分别过点b，c,作过点a的直线的垂线bd,ce,垂足为d,e，若bd=3，ce=2,则de=.

8.如图，ad是△abc的角平分线，deab,dfac,垂足分别是e,f，连接ef,交ad于g,ad与ef垂直吗?*你的结论。

1.如图，已知△abc中，延长ac边上的中线be到g，使eg=be，延长ab边上的中线cd到f，使df=cd,连接af,ag.

(1)补全图形

(2)af于ag的大小关系如何?*你的结论。

(3)f,a,g三点的位置关系如何?*你的结论。

2.如图，在△abc中，adbc，ceab,垂直分别为d,e,ad,ce交于点h，已知eh=eb=3,ae=4,求ch的长。

3.已知，如图，ab=ae,e,bac=ead,caf=daf.

求*：afcd

4.如图，ad=bd,adbc于d,beac于e,ad于be相交于点h，则bh与ac相等吗?为什么?

5.△dac,△ebc均是等边三角形，ae,bd分别与cd,ce交于点m,n,

求*：(1)ae=bd(2)cm=(3)△cmn为等边三角形(4)mn∥bc

6.如图，在△abc中，b=60，ad,ce是△abc的角平分线，且交于点o.

求*：ac=ae+cd

7.如图，在△abc中，m是bc中点，an平分bac,an垂直bn于n,已知ab=10,ac=16,

求mn的长。(中位线：连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半)

8.在△abc中，a=90，ab=ac,m是ac边上的中点，adbm交bc于d,交bm于e.

求*：amb=dmc

1.已知如图所示，adc=abc=90，ad=cd,dpab于p,dp=3,求四边形abcd的面积。

2.△abc内，bac=60，acb=40，p，q分别在边bc,ca上，并且ap,bq分别是bac,abc的角平分线。求*：bq+aq=ab+bp

3.已知d是△abc的边bc上一点，且cd=ab,bda=bad,ae是△abd的中线。

求*：ac=2ae

4.已知：bd，ce是△abc的高，点f在bd上，bf=ac,点g在ce的延长线上，cg=ab.

求*:agaf

5.如图所示，在△abc中，abc=110，acb=40，ce是acb的角平分线，d是ac上一点，若cbd=40，求ced的度数。

6.如图，已知e是正方形abcd的边cd的中点，点f在bc上，且dae=fae.

求*：af=ad+cf

7.已知：在△abc中，bac=90，ab=ac,ae是过点a的一条直线，且bdae于d，ceae于e,(1)当直线ae处于如图①的位置时，有bd=de+ce,请说明理由;(2)当直线ae处于如图②的位置时，则bd,de,ce的关系如何?请说明理由;(3)归纳(1)(2)，请用简洁的语言表达bd,de,ce之间的关系。

①

②

1.如图所示，已知△abc中，ab=ac,d是cb延长线上一点，adb=60，e是ad上一点，且de=db,求*：ae=be+bc

2.如图所示，bac=90，ab=ac,ae是过a的一条直线，b,c在ae的异侧，bdae于d,c,

ceae于e,求*：bd=de+ce

3.如图所示，已知，ad为△abc的高，e为ac上一点，be交ad于f,且有bf=ac,fd=cd.

求*：beac

4.如图所示，在△abc中，ad为bac的角平分线，deab于e,dfac于f,△abc的面积是28cm2,ab=20cm,ac=8cm,求de的长。

5.如图所示，已知在△aec中，e=90，ad平分eac,dfac,垂足为f,db=dc.

求*：be=cf.

6如图所示，在△abc中，ab=ac,a=100，bd平分abc.

求*：ad+bd=bc

7.如图所示，△abe和△adc是△abc分别沿边ab和ac翻折180形成的，

若1：2：3=28：5：3，则4的度数。

8.如图所示，△abc中，acb=110，abc=40，be平分abc交ac于点e，d是ab边上一点，dcb=40，求dec的度数。

1.如图所示，bd=dc,debc,交bac的平分线于e，emab,enac,

求*：bm=

2.如图所示，c=90，m是bc上一点，且amd=90，dm平分adc。

求*：am平分dab

2.已知：如图3-49，ad∥bc，2，4，直线dc过e点交ad于d，交bc于c.求*：ad+bc=ab.

3.如图：已知中，，，是中点，是ac

边上的一个动点，连接pf，把绕顺时针旋转90度时与重合，回答下列问题：(1)判断的形状，并说明理由(2)在中，若ab=2cm，求四边形aepf的面积

4.已知：如图3-50，ab=de，直线ae，bd相交于c，d=180，af∥de，交bd于f.求*：cf=cd.

5.如图所示，已知△abc中，ab=ac,d是cb延长线上一点，adb=60，e是ad上一点，且de=db,求*：ae=be+bc

23.如图,aob是一个任意角,在边oa,ob上分别取om=on,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与m,n重合,过角尺顶点c的*线oc便是aob的平分线,为什么?

5、如图△abc中，边ab、bc的垂直平分线交于点p，

(1)求*：pa=pb=pc

(2)点p是否也在ac的垂直平分线上呢?(12分)

2、如图，oc是aob的平分线，p是oc上一点，pdoa于d，peob于e，f是oc上一点，连接df和ef，求*：df=ef。(10分)

3、如图，ad是△abc的角平分线，deab，dfac，垂足分别为e、f，连接ef，ef与ad交于g，ad与eg垂直吗?*你的结论。

24.已知：如图，bfac于点f，ceab于点e，且bd=cd

求*：⑴△bde≌△cdf⑵点d在a的平分线上

27.在abc中，a=90，ab=ac，bd平分abc交ac于点d，cebd于e，若bd=m，

ce=n,试探究m，n之间的关系式。

25.如图所示，bd是abc的平分线，deab于点e，ab=36cm，bc=24cm，

sabc=144cm，求de的长(8分)

26.已知：如图1，点c为线段ab上一点，△acm，△cbn都是等边三角形，an交mc于点e，bm交于点f.

(1)求*：an=bm;

(2)求*：△cef为等边三角形;

(3)将△acm绕点c按逆时针方向旋转90o，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求*).(8分)

19、如图，已知ab∥cd，o是acd与bac的平分线的交点，oeac于e，且oe=2，则ab与cd之间的距离为

10.如图，△abc的三边ab、bc、ca长分别是20、30、40，其三条

角平分线将△abc分为三个三角形，则s△abo?s△bco?s△cao等于()

a.1?1?1b.1?2?3c.2?3?4d.3?4?5

15.正方形abcd中,ac、bd交于o,eof=90o,已知ae=3,cf=4,

则s△bef为___.

12.如图所示，已知△abc和△bde都是等边三角形。下列结论：①ae=cd;②bf=bg;③bh平分④ahc=600,⑤△bfg是等边三角形;⑥fg∥ad。其中正确的有()a3个b4个c5个d6个

16.如图所示，ad是△abc中bc边上的中线，若ab=2，

ac=4，则ad的取值范围是

20.(2008年泰安市)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，b，c，e在同一条直线上，连结dc.(8分)

(1)请找出图2中的全等三角形，并给予*(说明：结论中不得含有未标识的字母);

(2)*：dc

22.如图，在r△abc中，acb=450，bac=900，ab=ac，点d是ab的中点，afcd于h交bc于f，be∥ac交af的延长线于e，求*：bc垂直且平分de.(8分)

23、如图：在△abc中，be、cf分别是ac、ab两边上的高，在be上截取bd=ac，在cf的延长线上截取cg=ab，连结ad、ag。(8分)

求*：(1)ad=ag，(2)ad与ag的位置关系如何。

24.在△abc中,acb=90o,ac=bc,直线mn经过点c,且admn于d,bemn于e.(10分)

⑴当直线mn绕点c旋转到图⑴的位置时,求*:de=ad+be

⑵当直线mn绕点c旋转到图⑵的位置时,求*:de=ad-be;

⑶当直线mn绕点c旋转到图⑶的位置时,试问de、ad、be具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系.

25.如图，过线段ab的两个端点作*线am、bn，使am∥bn,按下列要求画图并回答：

画mab、nba的平分线交于e。(12分)

(1)aeb是什么角?

(2)过点e作一直线交am于d，交bn于c，观察线段de、ce，你有何发现?

(3)无论dc的两端点在am、bn如何移动，只要dc经过点e，①ad+bc=ab;②ad+bc=cd谁成立?并说明理由。

第3篇：三角函数题型分类总结

同学们进入高二要求背诵的公式也逐渐增多，为此数学网整理了高二数学三角函数公式，请参考。

1.万能公式

令tan(a/2)=t

sina=2t/(1+t^2)

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

tana=2t/(1-t^2)

2.辅助角公式

asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)

cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]

sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]

tanr=b/a

3.三倍角公式

sin(3a)=3sina-4(sina)^3

cos(3a)=4(cosa)^3-3cosa

tan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]

4.积化和差

sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

5.积化和差

sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]

cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]