一、分数与除法
在自然数*里，加法和乘法运算总是可以实施，但减法和除法却不行；引入分数，自然数*扩充为非负有理数*后，除法运算才变得畅通无阻。
例如，3÷4＝？在自然数*里找不到一个与3÷4对应的自然数，而在非负有理数*里却找到了一个且只有一个分数，与3÷4对应，即3÷4＝。
如何理解3÷4＝的数学意义呢？
⑴表示3是4的。其中3与4表示不同的两个量，而是量数，是以4为基准量去度量3所得的结果。
一般地，a、b都是非零的自然数时，a÷b＝。
⑵表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。这里，3和都表示量，而4是量数。
事实上，任意两个正有理数相除，都具有上述两种数学意义。
例如“3÷＝？”也有下面两种数学意义：
⑴3是的几分之几？
从上图，可以看出：3÷＝。
⑵3平均分成份，每份是多少？
因为是5个的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下图所示。
从上图，也可以看出：3÷＝。
注意：a、b都不是0，但只要有一个是分数，那么a÷b≠。
所以，如果忽视必要的前提，笼统地说被除数即分子、除数即分母，是不正确的。当且仅当a、b都是不为零的自然数时，等式a÷b＝才成立。这个命题还告诉我们，分数可以转化为除法，这为分数化为小数打通了一条重要途径。
二、百分数
百分数是否就是分母是100的分数？如果是，又何必需要这个新概念呢？
事实上，百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的。我们先来解决下面的实际问题：
在一场足球比赛中，猛虎队获得一次罚点球的机会，他们准备派下列三名队员中的一名去罚点球。下面是这三名队员在过去比赛中罚点球的成绩统计表。
队员
踢点球的次数
罚中的次数
3号队员
18
20
5号队员
21
25
7号队员
13
12
从这个实际问题抽象成的数学问题是：比较分数、、的大校
解法1：（化为同分母的分数进行比较）
＝，
＝，
＝。
因为＞＞，
所以＞＞。
由此可知，7号队员以往罚点球的成绩最佳，派他去罚点球是明智的选择。
不过，上面三个分数分母的最小倍数（1300）是比较大的，因此通分不仅比较费劲，也容易出差错。
解法2：（化为小数进行比较）
＝18÷20＝0.90，
＝21÷25＝0.84，
＝12÷13＞0.923。
因为0.923＞0.90＞0.84，所以＞＞。
化为小数，虽然可以借以比较分数的大小，但小数却失去了原来分数的特*，即表示量的倍比关系的意义。因此，需要寻找既能保持分数的特*，计算又比较简便的解题方法。就在这种需要的驱动下，百分数应运而生了。
新的办法就是把分母统统变成100。
把与化为分母是100的分数不难：＝，＝。
问题在于怎样把也变成分母是100的分数呢？
设所化成的分数的分子为x，即
＝，
两边同乘100，得
x＝×100，
x≈92.3。
所以，≈。这个结果与前面学过的分数不同的地方是，它的分子是一个小数。
的意义是：如果把13平均分成100份，那么12大约占其中的92.3份。也就是说，这种分数只能表示两个量的倍比关系，而不具有表示量的功能。
于是，人们把形如，，，......等，只能表示量的倍比关系，不能表示量的分数，统称为百分数；并引入新的符号“％”（叫做百分号），把百分数记为84％，90％，92.3％，......，以便从形式上与前面学过的分数加以区别。
显然，84％＜90％＜92.3％，通过百分数的大小比较，也说明是7号队员点球的罚中率最高。
诚然，把分数化为百分数还有更简捷的途径，即通过小数转化。
如，≈0.923＝92.3％。但是这种方法，对于理解百分数的意义，不如方程的方法直观。
三、比
比，顾名思义，与人类比较事物的实践活动密切相关。比的概念是在比较不同的量的倍比关系的实践中产生和发展的。
下面先探讨一个现实问题--平面图画得像不像。
例1羽毛球场是长18m、宽9m的长方形，如下图a。
⑴在b、c、d、e、f等图形中，你认为哪几个长方形的形状像图a，哪几个不像？
⑵对形状与图a（羽毛球场）相同的长方形，请你比较它们的长和宽，能发现其中的规律吗？
⑶在图a内，请你画一个形状与图a相同的长方形，且这个长方形的长是图a的长的。
任何正方形的形状都一样，但长方形的形状却有差异。图a恰好可以分成两个大小相同的正方形。发现图a的这个特*，能帮助我们找出其他形状与图a相同的长方形，如图d和e。而图b、c和f都不具有图a的这种特*，所以它们的形状与图a不同。
图a可以分成两个大小相同的正方形，等价于它的长是宽的2倍。形状与图a相同的长方形，长都是宽的2倍；形状与图a不同的长方形，长都不是宽的2倍。这就是我们发现的规律。
一般地，a、b分别表示一个长方形的长和宽，分数表示这个长方形的长与宽的倍比关系。这个分数的重要*在于它提供了长方形的一个分类标准：凡是长是宽的倍的长方形，都是形状相同的长方形，它们归为一类。图形的分类对于认识图形的*质具有重要的意义。
不过用“长是宽的倍”来刻画长方形的形状特征，有时很麻烦。例如，当a或b是分数时，是一个繁分数。为了避免进行繁分数的繁难运算，就需要改进对“长是宽的倍”这一特征的描述，从而引入比的概念。
“长是宽的倍”，可以用“长与宽的比是a?b”取而代之。
当a、b表示两个不同的量时，a?b＝＝a÷b。
所以，比可以定义为：两个量相除，叫做这两个量的比。
虽然比、分数、除法在揭示量的倍比关系方面是相通的，但对于不同的问题情境，仍然需要选择恰当的简便的表征方式，并掌握它们的相互转换。
例2蜂蜜绿茶是用2份蜂蜜和7份绿茶配制成的消暑饮料，要配制450毫升这种饮料，需要蜂蜜和绿茶各多少毫升？
在这个问题中，蜂蜜和绿茶体积的倍比关系用比的形式表示比较简便，即蜂蜜?绿茶＝2?7。
解法1：（应用方程）
设：一份蜂蜜或绿茶的体积为x毫升，则配制蜂蜜绿需用蜂蜜2x毫升，绿茶7x毫升。
2x＋7x＝450，
9x＝450
x＝50。
2x＝2×50＝100，
7x＝7×50＝350。
答：配制蜂蜜绿茶需要100毫升蜂蜜和350毫升绿茶。
解法2：（综合应用比和分数）蜂蜜?绿茶＝2?7＝?，且
＋＝1。因此，蜂蜜绿茶两个组成部分的倍比关系就转换成各部分与整体（蜂蜜绿茶）的倍比关系。从而，为应用分数解决问题创造了条件，图示如下：
450×＝100，
450×＝350。
解法1是代数方法，解法2是算术方法，殊途同归。
例37个女生平分4个蛋糕，3个男生平分2个蛋糕。是每个女生分得多一些，还是每个男生分得多一些？
解法1：每个女生分得个蛋糕，每个男生分得个蛋糕。问题可以归结为比较分数与的大小。比较两个量的倍比关系又有如下两种方法。
方法1：（利用除法）
÷＝×＝。
因为＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。
方法2：（利用比）
?＝12?14。
因为12?14＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。
解法2：（利用比）分别考虑男、女生的蛋糕数量或人数的倍比关系。
女生蛋糕?男生蛋糕＝4?2＝2?1，
女生人数?男生蛋糕＝7?3。
因为7?3＞6?3＝2?1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。
解法3：（利用图解）
上图说明，如果只有6个女生平分4个蛋糕，那么女生和男生将分得同样多。但女生有7个，7个女生平分4个蛋糕，每个女生分得的蛋糕要比6个女生平分的情形少一些。所以，男生分得的蛋糕比女生多。
上述解法2与解法3有异曲同工之妙，妙在都自然地渗透了数学的基本思想方法--对应。
比的概念不仅进一步揭示了分数的本质--量的倍比关系，而且也丰富了表征思维过程的方法和手段，使我们面临解决与分数相关的实际问题的时候，有更多的思路和方法可以选择，可以灵活转换，左右逢源。
第2篇：小学六年级数学《分数的认识》教案设计
教学目标：
1、结合具体情境和直观*作，初步理解分数的意义，体会学习分数的必要*；并会正确地读写分数，知道分数的各部分名称。
2、会用折纸、涂*等方式，表示简单的分数。
3、通过动手*作，培养学生的观察能力，动手*作能力，及口头表达能力。
4、渗透思想品德教育。
设计思路：
1、本节课是在学生掌握一些整数知识的基础上初步认识分数的含义。从整数到分数是数的概念的一次扩展。无论在意义上，还是在读写方法上，和整数都有很大的差异。虽然，学生在学习分数之前，二分之一、三分之一等已经出现在他们的口头语言中，只是还不曾想过要用什么符号来表示而已。因此，设计时，我首先从学生熟悉的分东西开始，以怎样分才是公平合理呢？为前提，使学生在分的过程中，激活自己的情感，促使学生懂得只有平均分才是公平合理的道理。当只有一个东西要平均分时，该怎样表示呢？此时学生感到原来学过的数不够用了，就要想办法来表示一半。于是让学生参与创造，感受表示一半的方式是多种多样的。接着引入一半可以用1/2来表示。在多种表示方式的对比中，体会用1/2表示一半的优越*，体会学习分数的必要*。
2、学生要建立概念的过程是很慢的，为了让学生能较好地理解简单的分数的意义。先让学生认识分数1/2，又让学生在折一折涂一涂的实践*作中，使学生体会1/2所表示的具体意义。
3、为使学生对分数有进一步的认识和理解。在认识1/2的基础上，再认识几分之几，通过折一折、画一画、涂一涂等*作办法来表示自己所喜欢的分数，通过*思考，尝试读写，使学生能真正体会到：把一个物体平均分成几份，其中的一份就是几分之一、几份就是几分之几。从而，激发学生的学习兴趣，使学生在自主的数学活动中真正理解分数的意义。
4、在练习、反思与评价、课外延伸中，主要是要让学生进一步清楚地认识到分数是在平均分的前提下研究的一种数，是把一个物体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫做分数；同时也揭示学生对本节课学习的内心世界。
教学流程：
一、创设情境，引出新课
1、师：在生活中，同学们分过东西吗？现在请同学拿出自己带来的东西，分给两位同学，想一想，怎样分才是公平合理呢？（平均分）
（策略建议：课前布置同学每人只能带同一种东西，大小形状要一样的，数量最多不能超过4个；如让学生带各自喜欢的水果、面包、饼干等。）
2、让学生动手分自己带来的东西。
3、让学生汇报自己分的结果。（此时，有的学生可能说每人分两个，有的学生可能说每人分一个，还有的学生可能说每人分半个等。）
4、师：你们能用自己喜欢的方式来表示半个，也就是一个东西的一半吗？
（策略建议：此时学生的表示方法可能各种各样，教师要给予肯定并及时的引导，像你们大家都有自己的表示方法固然好，那你们说在数学上如果没有统一的符号将会怎样呢？显然不攻自破。）
5、师：谁知道一半的数学符号是怎样表示的？
6、师：1/2表示一半的意思，它叫什么数？这就是我们今天所要学习的新内容分数。
（策略建议：应根据班级学生的实际情况，进行情境设计，可提高要求，也可降低要求，只要能达到让学生用已学过的数无法表示一半就可以，从而自然地引出新的数分数。）
二、观察*作，探究新知
1、认识1/2。
（1）让学生回顾一下刚才把一个物体平均分的过程。
（2）让学生做课本第56页的涂一涂。
（3）让学生折一折一个物体的1/2。
（4）指导读写1/2。
（策略建议：应根据班级学生的实际情况，如果学生的接受能力较差，教师应再示范一个物体平均分成两份的具体*作过程，让学生观察；接着让学生按（2）、（3）、（4）的顺序来学习。）
2、认识几分之几。
（1）让学生自己动手折一折、画一画、涂一涂等办法来表示自己喜欢的分数并试着把分数写出来。
（2）展示学生的作品。
（3）让学生说一说自己写出的分数所表示的意思。
（4）让学生说说自己是怎样写分数、读分数的？
（5）师引导学生小结读写分数的正确方法与分数的意义。
（策略建议：在1、2出现的折一折中可以让学生用自己喜欢的东西来折，如纸、手帕、线等。不但丰富了学生探究材料的来源，而且让学生初步感受到学习分数的必要*。）
三、巩固练习，理解应用
1、课本第58页练一练的第3题。
2、课本第58页练一练的第4题。
3、让学生结合实际举例说明生活中的几分之一、几分之几。
（策略建议：做第58页练一练的第3题时，应注意学生是否理解了分数意义与平均分的联系；做第58页练一练的第4题时，应引导学生体会分数也能用于估测图形的面积；对于举例说明的，教师应根据班级学生的具体情况，可以先举一个例子供学生参考，然后再让学生举例。）
四、回顾总结，反思评价
这节课你学会了什么，学得怎样？你有什么感想和建议吗？
（策略建议：教师应引导学生从知识、情感等方面进行总结，并反思课堂中的优缺点，包括老师和同学。）
五、布置作业，课外延伸
第3篇：六年级总复习数与代数，数的认识教案
教学内容：义务教育课程标准实验教科书第12册84页“整理与反思”和“练习与实践”5-10
教学目标：
使学生通过复习，进一步掌握数的读写、改写和大小比较，进一步明确奇数与偶数、素数与合数、公因数与公倍数的联系与区别，加深整数及其*质的理解。
教学重点、难点：进一步掌握数的读写、改写和大小比较，进一步明确奇数与偶数、素数与合数、公因数与公倍数的联系与区别，加深整数及其*质的理解。
教学设计：
一、复习多位数
1、复习数的读写：出示第84页上第6题，要求学生写出这些数。
补充：一个数由3个千万、4个百、5个一组成，这个数是（），读作（）
2、复习数的改写
说明：一个比较大的数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数，请你将上面这些数分别用“万”和“亿”作单位进行改写。
学生*改写，集体校对，回忆改写方法。
3、复习求一个数的近似数
（1）说明：有时根据需要，还可以省略某一位后面的尾数，求近似数。请你将上面这些数省略“万”后面的尾数，求近似数。
（2）练习：把199163000改写成用“亿”作单位的数是（），精确到亿位是（），省略“万”后面的尾数约是（）。
（3）第85页上的第9题：先读题，理解要求，再按要求完成，指名回答。
（4）第85页上的第8题：先读题，理解要求，思考怎样算每户的拥有量，再口算，并将结果按要求取近似值填入表中。指名回答。
二、复习奇数等概念。
1、将1、2、19、30、75、368、100按照不同的标准分类，可以怎样分？
引导学生复习认识：（1）将自然数按能否被2整除分为奇数和偶数两类；
（2）将自然数按因数的个数分成1、素数和合数三类。
2、口答：最小的素数是几？最小的合数是几？20以内的素数有哪些？合数呢？20以内既是偶数又是素数的有（），既是奇数又是合数的有（）。
3、将24分解质因数（）
4、练习：第85页上第10题，学生先*思考，再指名回答。
5、补充
（1）35和40的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
（2）a=3×5×7；b=2×3×7，那么a和b的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
（3）有一蓝苹果，如果2个2个数，还多1个，如果3个3个数，也多1个，这蓝苹果至少有几个？
（4）有3段钢材分别长30分米、35分米、50分米，要将它截成一小段一小段而没有多余，至少可以截成几小段？
课前思考：
在教材的总复习这一部分，提供的复习思路是清晰的，提供的复习题也是较为典型实用的，但由于第一大部分有关“数的认识”所涉及到的数的概念相当多，所以还需要我们联系学生学习情况，将所要复习的这些内容作适当分解和重组。高教导在前一课时中主要复习了自然数、整数、分数、小数、百分数的意义，在本课时中主要就数的改写及数的整除中涉及到的倍数、因数及偶数、奇数、合数、素数等内容进行复习。这里还需补充2、3、5的倍数的特征和短除法求最大公因数和最小公倍数的内容。
复习内容的学习难度比前一课时有所增加，所以除了讲清每一个概念外，更主要的是通过一些形式多样的练习来帮助学生内化。针对复习难点，我补充以下练习：
1.一个三位数2□□，是5的倍数，又是3的倍数，这个三位数的末两位可以是哪些数？
2.某市汽车站1路公交车每隔6分钟发一次车，3路车每隔10分钟发一次车。早晨6时，1路、3路公交车同时发车，问经过多长时间1路、3路公交车又同时发车？
3.王老师的小灵通号码是一个八位数，如果从左往右数，第三位上的数是最大的一位数，第四位上的数是最小的合数，第六位上的数既不是素数也不是合数，其余各位上的数都是偶素数。你知道这个电话号码吗？
4.把一张长20厘米、宽12厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，没有剩余，至少可以裁多少个？
5.求出各组数的最大公因数和最小公倍数。
18和2430和4521、28和42
课前思考：
每次看了孙老师发的*，就感觉学到了很多东西，作为一个新教师，我好象有点被动，懒于思考，也懒于探索，也没有想的那么深，钻研的那么透。事实上教学就应该结合学生的实际情况来进行。其实在六年级上学期我也帮学生整理归纳了素数和合数以及最大公因数和最小公倍数的一些内容，不知道学生还能否有些印象，但从学生之前学的效果来看，最大公因数和最小公倍数这部分内容学生掌握得不错，我将它分为3种情况：一种是倍数关系，一种是互质关系，一种是一般关系（提倡用短除法来做）。但是在运用这一知识解决实际问题的过程中，学生还是会存在一定的困难，仍然需要加强练习。
课前思考：
“数的认识”第二课时,主要是读数与写数和小数的一些*质与规律的内容，教学中学生可能会对一些结论（比如读写数的方法的描述）的完整概括有些困难，对于教材中的练习题，由于难度不大，学生的练习效果应该不会糟糕，教学时重点关注学困生的掌握情况。高教导和孙老师增加的补充题，适当增加了点练习难度，让课堂多一些味道。
课后反思：
从学生课堂上的学习情况来看，单单求一个数的最小公倍数和最大公因数，学生经过复习都能掌握，但是在求实际问题时，不少学生就遇到了困难。其次，把奇数、偶数、素数、合数这些内容综合起来，学生的判断就有错误了。书上的内容确实很简单，对学生来说基本没问题，但在做补充习题第4小题时，要求用下列所有卡片组成符合条件的小数时，两个班都有一部分学生犯了同样的错误：没有把所给的卡片全部用上，尤其是在填写最小的两位数时，不少学生写了0.25。仔细回想一下，在五年级也遇到过类似的题目，学生也犯了同样的错误，没有想象中的那么容易，复习课反而让我感到比上新课来的困难些，仍然需要和学生一起努力。
课后反思：
这节课的读数与写数和小数的一些*质与规律学生掌握的还行，主要问题出在“倍数、因数”方面的知识，这个地方的概念比较多，虽然布置学生复习了，但是实际教学时学生还是有些生疏，新教材中就没有用“整除”这一概念来说明“倍数与因数”的意思。看来，抽空一定要把前面的教材翻开来看一看。
课后反思：
本课时复习的内容较多，特别是很多学生对于因数、倍数、素数、合数等内容已遗忘得差不多，所以在今天的课上先重点复习了这些概念，然后逐一完成相应的练习。复习过程中，我较多地关注了平时学习有困难的学生。这些学生由于对于这部分内容没有真正理解，结果就在练习过程中屡屡出错，特别是应用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题时更是不知道该如何思考。抽空还是要辅导这些学生，否则与其他学生的差距会更大。