如何判断函数的单调*
河北秦皇岛山海关一中066200
摘要:函数的单调*是函数的一条重要*质，因此是历年高考的重要内容，而且所占分值有逐年增大的趋势.为此，本文概括、总结了用定义法、探索法、图象法、复合法、求导法等八种方法判断函数的单调*.同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项以举例的方式作了具体的介绍，这样有助于学生更好地理解和掌握这些方法，从而解决有关函数单调*的问题.
关键词:高中数学;函数;单调*;判断方法
函数的单调*是函数的一条重要*质，反映了函数值的变化规律.在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本，所占分值也有逐年增大的趋势.
在讨论函数单调*时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调*就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.接下来就如何判断函数的单调*归纳为以下几种方法.
[⇩]定义法
用函数单调*的定义来判断函数的单调*，它是判断函数单调*的最基本、最常用的方法.对于较复杂的函数，一般要在函数的定义域内任设x10，即f(x1)>(x2).
x3+1在(,?，，?)上为减函数.所以函数y=,
错因在*中，化简不到位是应用定义判断函数单调*常出现的问题，本题直接利用函数y=x3在(,?，，?)上的单调*则失去了原题考查的意义了.
*任设x1，x2?(,?，，?)且x10.又x1+
x22+x>0，
所以f(x1),f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数y=,x3+1在(,?，，?)上为减函数.
[⇩]探求法确定函数单调*
探求法确定函数单调区间是指通过定义法判断单调*过程中无法直接确定所求因式的符号，必须分区间研究而又无法判断区间端点的情况下，利用解不等式的方式求得单调区间，从而作为推理*的一种补充手段，它对于学生而言比较容易接受，而且不改变思维的延续*与整体*.
例2已知函数f(x)=x3,3x，x?r.
(1)判断函数的单调*并*;
(2)求f(x)在,,2，2,上的最大值，并指出何时取得最大值.
解析(1)设x10时，af(x)为增(减)函数;当a
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故原函数在(,?，,1)，(0，1)上是增函数，在,,1，0,，,1，+?)上是减函数.
在复合函数y=f(g(x))中，y=f(u)的自变量取值是u=g(x)的函数值，因此考虑单调*，不仅要注意u=g(x)的单调*，还要注意x在某区间内取值时，u值是否在y=f
(u)的单调区间内.
[⇩]利用函数求导
一般地，对于高次函数(一般为三次)，设函数y=f(x)在某区间内可导，如果f′(x),0，则f(x)为增函数;如果f′(x),0，则f(x)为减函数.
例4(2005*)已知函数f(x)=,x3+3x2+9x+a.
)求f(x)的单调递减区间;(1
(2)若f(x)在区间,,2，2,上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
解析(1)f′(x)=,3x2+6x+9，令f′(x),0，解得x,,1或x,3.所以函数f(x)的单调递减区间为(,?，,1)，(3，，?).
(2)因为f(,2)=8+12,18+a=2+a，f(2)=,8+12+18+a=22+a，所以f(2),f(,2).
因为f(x)在(,1，3)上f′(x),0，所以f(x)在,,1，2,上单调递增.
又因为f(x)在,,2，,1,上单调递减，所以f(2)与f(,1)分别是f(x)在区间,,2，2,上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=,2.
故f(x)=,x3+3x2+9x,2.
所以f(,1)=1+3,9,2=,7，
即函数f(x)在区间,,2，2,上的最小值为,7.
评注本题是考查三次函数的单调*及最值，运用导数解决单调减区间，只需解不等式f′(x),0即可，而求最小值应先求a.
同类题
1.(2005广东)函数f(x)=x3,3x2+1是减函数的区间为()
a.(2，，?)b.(,?，2)
c.(,?，0)d.(0，2)
2.(2005*苏)曲线y=x3+x+1在点(1，3)处的切线方程是.
3.(2005山东)已知x=1是函数f(x)=mx3,3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m，n?r，m,0.
(1)求m与n的关系表达式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)当x?,-1，1,时，若函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
*:1.d2.4x,y,1=0
3.(1)n=3m，6(2)当m,0时，f(x)在,?，1+
单调递减，在1+
，1单调递增，在(1，，?)单调递减(3),,m,0
掌握了如何判断函数单调*的方法之后，比较函数值的大小，求函数的值域、最大值、最小值，研究函数图象，判断反函数单调*，解函数不等式，解函数方程，求参数取值范围，求解恒成立等问题都能得以解决.
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第2篇：高一数学《函数的单调*判断》教案
概念反思：
变式：关于的不等式在上恒成立，则实数的范围为______
变式：设，则函数(的最小值是.
课后拓展：
1.下列说法正确的有(填序号)
①若，当时，，则在i上是增函数.
②函数在r上是增函数.
③函数在定义域上是增函数.
④的单调区间是.
2.若函数的零点，，则所有满足条件的的和为?
3.已知函数(为实常数)．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；
（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解析：(1)2分
∴的单调增区间为()，(-,0),的单调减区间为(-)，()
(2)由于，当∈[1,2]时，
10即
20即
30即时
综上可得
(3)在区间[1,2]上任取、，且
则
(*)
∵∴
∴(*)可转化为对任意、
即
10当
20由得解得
30得所以实数的取值范围是
第3篇：如何判断妹子是否单身
导语：判断妹子是否单身是不少暗恋男生关心的问题，直接问又怕尴尬，不问又心里燥的慌。下面就由小编来为大家介绍一下如何判断妹子是否单身，希望对大家有所帮助！
看外貌来判断
单身的女生一般都不会过于注重自己的外貌。因为基本上没有人会看你的外貌，女生一般打扮都是因为有自己在意的男生。如果一个女生特别的邋遢，特别不注意自己的形象，那就*她是没有男朋友的。
从她的饮食来判断
如果你跟这个女生吃饭的时候，这个女生从来不节制自己的食欲，吃的特别特别的多。那么*你在这个女孩面前仅仅是一个好朋友的形象。同时也*她没有男朋友。
从她的追星的程度
我觉得追星的女生最好判别她是不是单身。因为如果要是单身的追星*的话，到看到自己喜欢的偶像会特别的激动，甚至尖叫。但是如果她有了男朋友，她就不会在男朋友面前这么的激动。她会比较收敛。
从她的朋友圈判断
还有一种女生，你可以看他的朋友圈儿，你就可以了解她的感情生活啦，先加她的微信，然后刷她的朋友圈，我觉得这是最简单的方式。如果是爱表达的女生，她肯定会晒出来自己和男朋友日常的甜蜜。如果是没有男朋友的女生，她的朋友圈肯定是晒一些和闺密的合照或者是和自己养的宠物的合照。那么她一定没有男朋友，这样你就可以放心的追了。
从她的日常心情来判断
有了男朋友，肯定心事就变多了，经常心事重重或者心不在焉的，八成不是单身。没有当初一个人的时候那么潇洒，开始学会了伤春悲秋，睹物思人了，这是个很明显的特征，有了男朋友后她们会开始求助更固定的人了。
直接问她
其实女生单身与否，觉得最直接的方式就是直接问她，这是是最有效的确定方式也是最最合理的确定方式。如果你想撩一个女生。那么你就直接问她是否有男朋友，这样才不会胡思乱想的猜疑。
看她花痴的程度
一般女生在有了男朋友后，会收敛自己的花痴属*，走在大街上会注意收敛一下自己的行为，不在看见个帅哥就表现的夸张的不行不行的了，开始把眼光更多的调整到自己的男朋友这里~
总是一个人
生病了身边连个照顾的人都没有，平日里也是形单影只的，*子比较安静，身边陪伴的也就是闺蜜，做什么事都是一个人，看起来简直就是折翼的天使类型，要不要扑上去问一下呢~!
饭点是自己吃还是约着闺蜜
看饭点，如果有对象很难讲会一个人自己吃饭的，不腻在一起的，多数都是老夫老妻了，对于妹子来说，上个厕所都要一起的，吃饭怎么可以一个人，所以看陪在她身边的都是些什么人，如果一直都是闺蜜的话。还可以问闺蜜呀，你是不是傻。