任意角的概念
【课题】任意角的概念（高等教育出版社《数学（基础模块）上册》第五章第一节第一课时）
【课时】1课时（45分钟）
【设计理念】数学学习实质是一个对原有知识不断优化完善的过程。因此本课在问题与实例的引导下，使学生经历观察后，自然的完成回忆思考归纳等理*的思维过程。在这一过程中，使问题得以解决提升，旧知得以优化完善。学生的观察能力，分析与解决问题能力得到加强。
【教学目标】
1、知识与技能目标：了解角的概念的推广，知道正角、负角、零角的形成。正确理解象限角、界限角的概念。
2、过程与方法目标：通过角的概念的推广，培养学生分析问题与解决问题的能力。通过平面直角坐标系中角的讨论，培养学生的观察能力。由摩天轮及扳手拧螺丝引出课题，并使旋转形成角这一观念贯穿课堂始终。
3、情感态度和价值观：通过了解角的概念的推广过程，让学生感受实际需要才是数学发展的原动力。通过平面直角坐标系中角的研究，让学生感受新知的来龙去脉，从而达到培养学生兴趣的目的。同时让学生体会“数形结合”这种数学思想。
【重点难点】
难点：任意角的概念的得到。
【教学过程】
一、课程导入
1、复习回顾
通过对原有知识的复习，为接下来对角的概念的推广做好铺垫。
（展示图片）问题1：这是什么？我们在初中学过哪些角？
答：角。锐角，直角，钝角，平角，周角。
问题2：我们在初中是怎样定义角的？
答：（提示关键点，1、端点；2、共端点的*线。）由两条有公共端点的*线所组成的图形。这个公共端点叫做角的顶点。
这个定义是从图形的形状出发。这种定义下的角范围被限制在0°~360°内。这已经不能反映我们生活中的一些实际问题。
2、实例引入
实例1、游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮。旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈，那么小华走下来时，旋臂走过的角度是多少呢？答：应该是720°
（师）现在可以看到，我们得到的角已经超出了范围。下面来看另一个实例。
实例2、用活络扳手旋螺母，当扳手按逆时钟方向由oa旋转60°到ob位置时，形成角aob；若将扳手按顺时钟方向由oa旋转60°到oc位置，形成角aoc；两种情况下，扳手造成的效果（旋松或者旋紧）一样吗？此时，角aob，和角aoc表示的是同一个角吗？（讨论）
答：不一样。逆时钟旋松，顺时钟旋紧。同一个角（或不同角）。
问题2：我们向东走一米表示为（+）1米，那么向西走1米怎么表示？
答：-1米。
（师）同样的，顺时钟和逆时钟也是两个不同的方向。因此我们在表示这两个角时要考虑到方向的问重点：角的概念的推广以及象限角、界限角等概念。
题。同时在这两个实例里，角都是在旋转这样一种动态过程中产生的。
二、新课讲解
1、任意角的定义
角的概念：一条*线由位置oa，绕着它的端点o，按逆时钟（或顺时钟）方向旋转到另一位置ob形成的图形叫做角。旋转开始位置的*线oa叫做角的始边，中止位置的*线ob叫做角的终边。端点o叫做角的顶点。
规定：按逆时钟反方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时钟方向旋转所形成的角叫负角。当*线没有做任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角。
角的概念推广后，就可以有任意大小的正角、负角和零角。
要注意正负仅仅表示方向的不同。
问题3：现在回到实例，实例1中的角应该是多少？实例2中的角aob、角aoc又该怎么表示？答：实例1中的角为-720°，实例2中的角aob是60°，角aoc是-60°。
问题4：由上我们可以得到，今后在回答一个角的大小的时候，判断的步骤应该是怎样的？
答：（讨论）首先判断角的正负，即角的旋转方向；其次判断角的旋转度数。
2、角的表示
以前是使用角的顶点或者顶点与边的字母表示角，如∠aob，或者∠o。
今后则经常使用小写希腊字母α、β、γ„„
来表示角。如α=30°，β=120°。
3、在平面直角坐标系中研究角
为了研究的方便，经常在平面直角坐标系中研究角。将角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合。
此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，或者说这个角在第几象限。
如图所示,30°，390°，-330°角都是第一象限的角，120°角是第二象限的角，-120°是第三象限的角，-60°，300°角都是第四象限的角。
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°，90°，180°，270°，360°，-90°，-270°角等都是界限角。
三、例题讲解
下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？
四、课堂练习
1、师：锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？
答：（讨论）锐角为大于0°小于90°的角，所以是第一象限角；第一象限的角不一定是锐角，如，390°，-300°等。
2、师：已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)60º，(2)－210º，(3)225º，(4)－30º
点评：作图时首先要判断角的方向，并用箭头将方向标示出来。其次判断角旋转了几圈。
五、巩固练习
1、-40°的角终边在（）
a．第一象限b.第二象限
c.第三象限d.第四象限
2、分针一分钟转过的角度是度；时针一小时转过的角度是度；时针一昼夜转过的角度是度。
点评：时钟中的分针、秒阵和时针都是顺时钟旋转，因此为负角。分针走一圈是六十分钟，一分钟转过的角度为6°。时针与秒针同理。
六、小结与作业
我们今天要掌握的知识点有：
1）、任意角的概念以及正角、负角、零角的定义。
2）、象限角、界限角的概念。
作业：数学课课达标（第二册）第五章第一节
七、拓展思考：
观察课练二中的390°，30°，-330°，在坐标轴中作出每个角，并探讨以下问题
1、这三个角有什么共同的特征？
2、与它们终边重合的角有几个？
第2篇：任意角的概念教学设计
教学目标：
（一）知识与技能
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)与区间角的概念.
（二）过程与方法
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的*；掌握区间角的*的书写．
（三）情感、态度与价值观
提高学生的推理能力；培养学生应用意识．
教学重点：
任意角概念的理解；区间角的*的书写．
教学难点：
终边相同角的*的表示；区间角的*的书写．
教学过程
一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条*线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条*线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
二、新课：
1．角的有关概念：
①角的定义：角可以看成平面内一条*线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：③角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：*线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α=0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
3．探究：教材P3面，终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个*
S＝{β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴k∈Z
⑵α是任一角；
⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；
例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．
例4．写出终边在y轴上的角的*(用0°到360°的角表示)．
例5．写出终边在y?x上的角的*S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
4．课堂小结
①角的定义；
②角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：*线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
③象限角；
④终边相同的角的表示法．
5．课后作业：
①阅读教材P2-P5；
②教材P5练习第1-5题；
③教材P.9习题1.1第1、2、3题
[任意角的概念教学设计]相关文章：
第3篇：角的概念的推广练习题
角度是数学里面一个重要的知识点，它可以推广引出三角函数等等知识。以下是小编精心准备的角的概念的推广练习题，大家可以参考以下内容哦！
(文)(2011广州检测)若sinα<0且tanα>0，则α是( )
a．第一象限角 b．第二象限角
c．第三象限角 d．第四象限角
[*]c
[解析]∵sinα<0，∴α为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上，
∵tanα>0，∴α为第一、三象限角，
∴α为第三象限角．
(理)(2011绵阳二诊)已知角a同时满足sina>0且tana<0，则角a的终边一定落在( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
[*]b
[解析]由sina>0且tana<0可知，cosa<0，所以角a的终边一定落在第二象限．选b.
2．(文)(2011杭州模拟)已知角α终边上一点psin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为( )
a.56π b.116π
c.23π d.53π
[*]b
[解析]由条件知，cosα＝sin2π3＝sinπ3＝32，
sinα＝cos2π3＝－cosπ3＝－12，
∴角α为第四象限角，[来源:z。xx。k]
∴α＝2π－π6＝11π6，故选b.
(理)已知锐角α终边上一点p的坐标是(4sin3，－4cos3)，则α等于( )
a．3 b．－3
c．3－π2 d.π2－3
[*]c
[解析]点p位于第一象限，且
tanα＝－cot3＝－tanπ2－3＝tan3－π2，
∵3－π2∈0，π2，∴α＝3－π2.
3．(文)设0≤θ<2π，如果sinθ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是( )
a．0<θ<3π4 b．0<θ<π4或3π4<θ<π
c.3π4<θ<π d.3π4<θ<5π4
[*]b
[解析]∵0≤θ<2π，且sinθ>0，∴0<θ<π.
又由cos2θ>0得，2kπ－π2<2θ<2kπ＋π2，
即kπ－π4<θ<kπ＋π4(k∈z)．∵0<θ<π，
∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.
(理)(2011海口模拟)已知点p(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )
a．(π4，π2) b．(π，5π4)
c．(3π4，5π4) d．(π4，π2)∪(π，5π4)
[*]d
[解析]∵p点在第一象限，∴sinα－cosα>0，tanα>0，
如图，使sinα>cosα的角α终边在直线y＝x上方，使tanα>0的角α终边位于第一、三象限，又0≤α≤2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4.
4．已知点p(1,2)在角α的终边上，则6sinα＋cosα3sinα－2cosα的值为( )
a．3 b.134
c．4 d.174
[*]b
[解析]由条件知tanα＝2，
∴6sinα＋cosα3sinα－2cosα＝6tanα＋13tanα－2＝134.
5．(2011新课标全国理，5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
a．－45 b．－35
c.35 d.45
[*]b
[解析]依题意：tanθ＝±2，∴cosθ＝±15，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝1－41＋4＝－35，故选b.
6．(2010广东佛山顺德区质检)函数f(x)＝sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cosa＋b2＝( )
a．0 b.22
c．－1 d．1
[*]d
[解析]由条件知，a＝－π2＋2kπ(k∈z)，b＝π2＋2kπ，∴cosa＋b2＝cos2kπ＝1.
7．(文)(2011*东城区质检)若点p(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．
[*]－3
[解析]依题意，知yx＝tan300°＝－tan60°＝－3.
(理)(2011太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点p(－4m,3m)(m>0)是角α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.
[*]25
[解析]由条件知x＝－4m，y＝3m，r＝x2＋y2＝5|m|＝5m，∴sinα＝yr＝35，cosα＝xr＝－45，
∴2sinα＋cosα＝25.
8．(2011*西文，14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－255，则y＝________.
[*]－8
[解析]|op|＝42＋y2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y2＝－255，解得y＝±8，
又∵sinθ＝－255<0及p(4，y)是角θ终边上一点，
可知θ为第四象限角，∴y＝－8.
9．(2010上海嘉定区模拟)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点acosα，35，则cosα－sinα＝________.
[*]－75
[解析]由条件知，sinα＝35，
∴cosα＝－45，∴cosα－sinα＝－75.
10.(2011广州模拟)a、b是单位圆o上的动点，且a、b分别在第一、二象限．c是圆o与x轴正半轴的交点，△aob为正三角形．记∠aoc＝α.
(1)若a点的坐标为35，45，求sin2α＋sin2αcos2α＋cos2α的值；
(2)求|bc|2的取值范围．
[解析](1)∵a点的坐标为35，45，
∴tanα＝43，
∴sin2α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin2α＋2sinαcosα2cos2α－sin2α
＝sin2αcos2α＋2×sinαcosα2－sin2αcos2α＝tan2α＋2tanα2－tan2α＝169＋832－169＝20.
(2)设a点的坐标为(x，y)，
∵△aob为正三角形，
∴b点的坐标为(cos(α＋π3)，sin(α＋π3))，且c(1,0)，
∴|bc|2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin2(α＋π3)
＝2－2cos(α＋π3)．
而a、b分别在第一、二象限，
∴α∈(π6，π2)．
∴α＋π3∈(π2，5π6)，
∴cos(α＋π3)∈(－32，0)．
∴|bc|2的取值范围是(2,2＋3).
11.(文)设α是第二象限角，且|sinα2|＝－sinα2，则α2是( )
a．第一象限角 b．第二象限角
c．第三象限角 d．第四象限角
[*]c
[解析]∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角，
又∵sinα2≤0，∴α2是第三象限角，故选c.
(理)若α是第三象限角，则y＝|sinα2|sinα2＋|cosα2|cosα2的值为( )
a．0 b．2
c．－2 d．2或－2
[*]a
[解析]∵α为第三象限角，∴α2为第二、四象限角
当α2为第二象限角时，y＝1－1＝0，
当α2为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.
12．(文)若θ∈3π4，5π4，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
[*]b
[解析]
解法1：如图，由单位圆中三角函数线可知，当θ∈3π4，5π4时，
sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0.
∴复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应点在第二象限．
解法2：∵cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，
sinθ－cosθ＝2sinθ－π4，
又∵θ∈3π4，5π4.∴π<θ＋π4<3π2，∴sinθ＋π4<0.
∵π2<θ＋π4<π，∴sinθ－π4>0，
∴当θ∈3π4，5π4时，cosθ＋sinθ<0，sinθ－cosθ>0.故选b.
(理)(2011绵阳二诊)记a＝sin(cos2010°)，b＝sin(sin2010°)，c＝cos(sin2010°)，d＝cos(cos2010°)，则a、b、c、d中最大的是( )
a．a b．b c．c d．d
[*]c
[解析]注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos12>cos32>0，a＝sin(－32)＝－sin32<0，b＝sin(－12)＝－sin12<0，c＝cos(－12)＝cos12>0，d＝cos(－32)＝cos32>0，∴c>d，因此选c.
[点评]本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调*等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练．
13．(文)(2010南京调研)已知角α的终边经过点p(x，－6)，且tanα＝－35，则x的值为________．
[*]10
[解析]根据题意知tanα＝－6x＝－35，所以x＝10.
(理)已知△abc是锐角三角形，则点p(cosb－sina，tanb－cotc)，在第________象限．
[*]二
[解析]∵△abc为锐角三角形，∴0<a<π2，
0<b<π2，0<c<π2，且a＋b>π2，b＋c>π2，
∴π2>a>π2－b>0，π2>b>π2－c>0，
∵y＝sinx与y＝tanx在0，π2上都是增函数，
∴sina>sinπ2－b，tanb>tanπ2－c，
∴sina>cosb，tanb>cotc，∴p在第二象限．
14．(文)已知下列四个命题
(1)若点p(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝255；
(2)若α>β且α、β都是第一象限角，则tanα>tanβ；
(3)若θ是第二象限角，则sinθ2cosθ2>0；
(4)若sinx＋cosx＝－75，则tanx<0.
其中正确命题的序号为________．
[*](3)
[解析] (1)取a＝1，则r＝5，sinα＝25＝255；
再取a＝－1，r＝5，sinα＝－25＝－255，故(1)错误．
(2)取α＝2π＋π6，β＝π3，可知tanα＝tanπ6＝33，tanβ＝3，故tanα>tanβ不成立，(2)错误．
(3)∵θ是第二象限角，∴sinθ2cosθ2＝12sinθ>0，∴(3)正确．
(4)由sinx＋cosx＝－75<－1可知x为第三象限角，故tanx>0，(4)不正确．
(理)(2010*延庆县模拟)直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝1交于a，b两点，以x轴的正方向为始边，oa为终边(o是坐标原点)的角为α，ob为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.
[*]－45
[解析]将y＝2x＋1代入x2＋y2＝1中得，5x2＋4x＝0，∴x＝0或－45，∴a(0,1)，b－45，－35，故sinα＝1，cosα＝0，sinβ＝－35，cosβ＝－45，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－45.
[点评]也可以由a(0,1)知α＝π2，
∴sin(α＋β)＝sinπ2＋β＝cosβ＝－45.
15．(2010苏北四市模考)在平面直角坐标系xoy中，点p12，cos2θ在角α的终边上，点q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且op→oq→＝－12.
(1)求cos2θ的值；
(2)求sin(α＋β)的值．
[解析](1)因为op→oq→＝－12，
所以12sin2θ－cos2θ＝－12，
即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，
所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.
(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13，
所以点p12，23，点q13，－1，
又点p12，23在角α的终边上，
所以sinα＝45，cosα＝35.
同理sinβ＝－31010，cosβ＝1010，
所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝45×1010＋35×－31010＝－1010.
16．周长为20cm的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积．
[解析]设扇形半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，
∴l＝20－2r，
s＝12rl＝12(20－2r)r＝(10－r)r，
∴当r＝5时，s取最大值．
此时l＝10，设卷成圆锥的底半径为r，则2πr＝10，
∴r＝5π，
∴圆锥的高h＝52－5π2＝5π2－1π，
v＝13πr2h＝π3×5π25π2－1π＝125π2－13π2.
1．(2011深圳一调、山东济宁一模)已知点p(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
a.π4 b.3π4
c.5π4 d.7π4
[*]d
[解析]由sin3π4>0，cos3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.
2．设a＝sinπ6，b＝cosπ4，c＝π3，d＝tanπ4，则下列各式正确的是( )
a．a>b>d>c b．b>a>c>d
c．c>b>d>a d．c>d>b>a
[*]d
[解析]因为a＝12，b＝22，c＝π3>1，d＝1，所以a<b<d<c.
3．(2010衡水市高考模拟)设a＝log12tan70°，b＝log12sin25°，c＝log12cos25°，则它们的大小关系为( )
a．a<c<b b．b<c<a
c．a<b<c d．b<a<c
[*]a
[解析]∵tan70°>cos25°>sin25°>0，log12x为减函数，∴a<c<b.
4．如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )
a．1 b．2680 c．2010 d．1340
[*]c
[解析]∵f(n)＝2sinnπ3＋π2＋1＝2cosnπ3＋1.由s＝s＋f(n)及n＝n＋1知此程序框图是计算数列an＝2cosnπ3＋1的前2010项的和．
即s＝2cosπ3＋1＋2cos2π3＋1＋2cos3π3＋1＋…＋2cos2010π3＋1
＝2cosπ3＋cos2π3＋cos3π3＋…＋cos2010π3＋2010＝2×335×cosπ3＋cos2π3＋cos3π3＋cos4π3＋cos5π3＋cos6π3＋2010＝2010.
5．已知角α终边经过点p(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.求sinα＋1tanα的值．
[解析]∵p(x，－2)(x≠0)，
∴点p到原点的距离r＝x2＋2.
又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x.
∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.
当x＝10时，p点坐标为(10，－2)，
由三角函数的定义，有sinα＝－66，1tanα＝－5，
∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；
当x＝－10时，同理可求得sinα＋1tanα＝65－66.