离散型随机变量的均值与方差、正态分布
基础梳理
离散型随机变量的均值与方差
1.一般地，若离散型随机变量x的分布列为
则称eξ=x1p1+x2p2+„+xnpn为ξ的均值或数学期望，简称期望．
称dξ＝(x1-eξ)2⋅p1＋(x2-eξ)2⋅p2＋„＋(xn-eξ)2⋅pn为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的eξ是随机变量ξ的期望．
标准差:dξ的算术平方根dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．
2.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差dx表示x对ex的平均偏离程度，dx越大，表示平均偏离程度越大，说明x的取值越分散；dx越小，表示平均偏离程度越小，说明x的取值越集中稳定。正态分布：
1．正态分布密度函数：
-f(x)=(x-μ)22σ，（σ＞0，-∞＜x＜∞）
其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为n(μ,σ)2
2．正态分布n(μ,σ)）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布
2
3．正态曲线的*质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～n(μ，σ)，根
2
据定义有：μ=eξ，σ=dξ。
正态曲线具有以下*质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x=μ对称。（3）曲线在x=μ时位于最高点。（4）当xμ时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
4．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是
f(x)=
12e
-
x22
，（-∞＜x＜+∞）,其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体n（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位
题均可转化成标准正态分布的概率问题5.标准正态总体的概率问题:
对于标准正态总体n（0，1），Φ(x0)是总体取值小于x0的概率，即Φ(x0)=p(x 2 在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.26%、95.44%、99.74%μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分的随机变量x只取（μ-3σ，μ+3σ）之间的值，并简称之为3σ原则。n（μ，σ2）三种分布 (1)若x服从两点分布，则e(x)＝p，d(x)＝p(1－p)；(2)x～b(n，p)，则e(x)＝np，d(x)＝np(1－p)；(3)若x服从超几何分布，则e(x)＝六条*质 (1)e(c)＝c(c为常数)(2)e(ax＋b)＝ae(x)＋b(a、b为常数)(3)e(x1＋x2)＝ex1＋ex2(4)如果x1，x2相互*，则e(x1·x2)＝e(x1)e(x2)(5)d(x)＝e(x)－(e(x))(6)d(ax＋b)＝a·d(x)双基自测 1．(2010·山东)样本*有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()．66 b.2d．255 2 2 2 mn 解析由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1. s＝ 2 1－1 2 0－1 2 1－152 2－1 2 3－1 2 ＝2. *d2．已知x的分 布列为设y＝2x＋3，则e(y)的值为()．7 a.．4c．－1d．1 3 11127 解析e(x)＝－e(y)＝e(2x＋3)＝2e(x)＋3＝－＋3＝. 26333*a 3．(2010·湖北)某*手*击所得环数ξ的分布下： 已知ξ的期望e(ξ)＝8.9，则y的值为（）a．0.4b．0.6c．0.7d．0.9解析x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②由①②联立解得 x＝0.2，y＝0.4.*a 4．设随机变量x～b(n，p)，且e(x)＝1.6，d(x)＝1.28，则()． a．n＝8，p＝0.2b．n＝4，p＝0.4c．n＝5，p＝0.32d．n＝7，p＝0.45 ⎧⎪n＝8， 解析∵x～b(n，p)，∴e(x)＝np＝1.6，d(x)＝np(1－p)＝1.28，∴⎨ ⎪p＝0.2.⎩ 列如 5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出： 该随机变量ξ的均值是________． 解析由分布列可知e(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.*8.2 6设随机变量ξ～n（μ，σ）， 且p（ξ≤c）=p（ξ>c），则c等于（）a.0b.σc.－μd.μ解析：由正态曲线的图象关于直线x=μ对称可得*为d.*：d 7.随机变量ξ服从正态分布n（0，1），如果p（ξ 【例1】►a、b两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，a队队员是a1、a2、a3，b队队员是b1、b2、b3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下： x，y(1)求x，y的分布列；(2)求e(x)，e(y)． [审题视点]首先理解x，y的取值对应的事件的意义，再求x，y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．解(1)x，y的可能取值分别为3,2,1,0. p(x＝3)×＝p(x＝2)＝××＋×，p(x＝1)×＋×p(x＝0)＝××； 828 根据题意x＋y＝3，所以p(y＝0)＝p(x＝3)p(y＝1)＝p(x＝2)＝， 7575 23 35 31235355 13223555 13 3335525 2235285752323551235225332552875 p(y＝2)＝p(x＝1)＝p (y＝3)＝p(x＝0)＝.x的分 25325 布列为 y的分 布列为 828232223 (2)e(x)＝3×＋2＋1×＋0×x＋y＝3，所以e(y)＝3－e(x)＝. 75755251515 (1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公 式计算． (2)由x的期望、方差求ax＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的*质求解．【训练1】(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有*、乙两人相互*来该租车点租车骑游(各 11 租一车一次)．设*、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时 4211 24(1)求*、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设*、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望e(ξ)．11 解(1)441111115 记*、乙两人所付的租车费用相同为事件a，则p(a)×＝. 422444165 所以*、乙两人所付的租车费用相同的概率为. 16(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8. p(ξ＝0)＝＝；p(ξ＝2)＝×；p(ξ＝4)＝×＋×；p(ξ＝6)＝＋；p(ξ＝8)＝. *、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为 1124 1144 316 1411416 11421814114215216111112442415416 1所以e(ξ)＝0×＋2×＋4×＋68×＝8161616162考向二均值与方差*质的应用 12 【例2】设随机变量x具有分布p(x＝k)＝k＝1,2,3,4,5，求e(x＋2)，d(2x－1)， 5 dx－1. [审题视点]利用期望与方差的*质求解． 1111115 解∵e(x)＝1＋2×＋3×45×＝3. 555555 e(x2)＝1×＋22×＋32×42×＋5211. d(x)＝(1－3)2＋(2－3)2×＋(3－3)2×(4－3)2＋(5－3)2×＝(4＋1＋0＋1＋4) ＝2. ∴e(x＋2)＝e(x＋4x＋4)＝e(x)＋4e(x)＋4＝11＋12＋4＝27. 2 2 2 1515151515 151515151515 d(2x－1)＝4d(x)＝8，x－1＝dx＝2. 若x是随机变量，则η＝f(x)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练 应用期望和方差的*质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．考向三均值与方差的实际应用 【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数x依次为1,2，„，8，其中x≥5为标准a，x≥3为标准b.已知*厂执行标准a生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准b生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定*、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知*厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示： 且x1的数学期望e(x1)＝6(2)为分析乙厂产品的等级系数x2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 353385563463475348538343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数x2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“*价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买*？说明理由． 注：(1)产品的“*价比”＝ 产品的等级系数的数学期望 ； 产品的零售价 (2)“*价比”大的产品更具可购买*． [审题视点](1)利用分布列的*质p1＋p2＋p3＋p4＝1及e(x1)＝6求a，b值．(2)先求x2的分布列，再求e(x2)，(3)利用提示信息判断． 解(1)因为e(x1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.又由x1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5. ⎧⎪6a＋7b＝3.2，由⎨ ⎪a＋b＝0.5，⎩ ⎧⎪a＝0.3， 解得⎨ ⎪b＝0.2.⎩ (2)由已知得，样本的频率分布表如下： x2的概率分布列如下： 所以 e(x2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买*．理由如下： 6 因为*厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其*价比为1. 6因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其*价比为据此，乙厂的产品更具可购买*． 【训练3】某公司有10万元资金用于投资，如果投资*项目，根据市场分析知道：一年后111 可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为；如果 244投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资*项目，用x表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求x的概率分布及e(x)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资*项目的平均收益，求α的取值范围． 解(1)依题意，x的可能取值为1,0，－1， 4.8 ＝1.2.4 x的分布列为 e(x)＝. (2)设y表示10万元投资乙项目的收益，则y的分布列为： 1112 44 4 16 e(y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≤α≤1.
第2篇：数学期望的由来
数学是一门工具学科,很多问题的解决都依赖于数学的知识,下面是小编带来的是数学期望的由来，希望对您有帮助。
早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。
巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，a赢了4局，b赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？
是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？
这两种分法都不对。正确的*是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4。
为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者a赢，或者b赢。若是a赢满了5局，钱应该全归他；a如果输了，即a、b各赢4局，这个钱应该对半分。现在，a赢、输的可能*都是1／2,所以，他拿的钱应该是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4,当然，b就应该得1／4。
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。
在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用a赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。
概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：*乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第四局的时候，*胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
用概率论的知识，不难得知，*获胜的可能*大，*赢了第四局，或输掉了第四局却赢了第五局，概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4。分析乙获胜的可能*，乙赢了第四局和第五局，概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了*的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
第3篇：数学期望的来源故事
早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。
巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，a赢了4局，b赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分?
是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢?或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢?
这两种分法都不对。正确的*是：赢了4局的拿这个钱的3/4,赢了3局的拿这个钱的1/4。
为什么呢?假定他们俩再赌一局，或者a赢，或者b赢。若是a赢满了5局，钱应该全归他;a如果输了，即a、b各赢4局，这个钱应该对半分。现在，a赢、输的可能*都是1/2,所以，他拿的钱应该是1/2×1+1/2×1/2=3/4,当然，b就应该得1/4。
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。
在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用a赢输的概率1/2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。
概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。